Question

有一个雪花曲线序列，其产生的规则是：将正三角形k₀的每一边三等分，而以其居中的那一线段为底边向外作等边三角形，再擦去中间的那条边，便得第一条雪花曲线k₁，再将k₁的每一边三等分，并重复上述作法，便得第二条雪花曲线k₂…把k_n-1的每一边三等分，并以中间那条线段向外作等边三角形， 再擦去中间的那条边， 便得第n条雪花曲线k_n(n=2，3，4，…)。

（1）　　   设k₀的周长为L₀，即正三角形的周长，求k_n，即第n条雪花曲线的周长L_n；

（2）　　   设k₀的面积为A₀，即正三角形的面积，求k_n即第n条雪花曲线围成的面积A_n；

（3）随着n的增大，L_n和A_n的极限是否存在？

 

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）在雪花曲线序列中，将kn-1变为kn，后一曲线的同等是前一曲线同等的，即，∴ 。 （2）k0，k1，k2，…，kn，…的边数依次为3，3×4，3×42，…，3×4n，…，因此，k1比k0多出了3个面积为的正三角形，k2比k1多出了3×4个面积为的正三角形，…，kn比kn-1多出了3×4n-1个面积为的正三角形，于是有 。 由 可得 (3)由知，Ln的极限不存在。而。