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已知直线y=a与曲线y=x3-3x+1有三个交点,则a的取值范围是( )
A.[-1,3]
B.(-∞,+∞)
C.(-3,1)
D.(-1,3)
【答案】分析:先将两曲线有三个交点问题,转化为函数f(x)有三个零点问题,利用导数求函数f(x)的单调区间和极值,列不等式即可得a的范围
解答:解:直线y=a与曲线y=x3-3x+1有三个交点即函数f(x)=x3-3x+1-a有三个不同的零点
∵f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)
∴函数f(x)在(-∞,-1)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数
∴x=-1时,函数取极大值f(-1)=3-a,x=1时,函数取极小值f(1)=-1-a
要使函数f(x)=x3-3x+1-a有三个不同的零点
只需
∴-1<a<3
故选 D
点评:本题主要考查了函数零点与图象交点间的关系和相互转化,三次函数零点个数问题,导数在函数单调性和极值中的应用
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