Question

（2013•湛江二模）某市甲、乙两校高二级学生分别有1100人和1000人，为了解两校全体高二级学生期 末统考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从这两所学校共抽取105名高二学生的数学成绩，并得到成绩频数分布表如下，规定考试成绩在[120，150]为优秀．
甲校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
频数	2	3	10	15	15	x	3	1

乙校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150）
频数	1	2	9	8	10	10	y	3

（1）求表中x与y的值；
（2）由以上统计数据完成下面2x2列联表，问是否有99%的把握认为学生数学成绩优秀与所在学校有关？
（3）若以样本的频率作为概率，现从乙校总体中任取3人（每次抽取看作是独立重复的），求优秀学生人数ξ的分布列和数学期望．（注：概率值可用分数表示）

	甲校	乙校	总计
优秀
非优秀
总计

Answer 1

分析：（1）根据条件知道从甲校和乙校各自抽取的人数，做出频率分布表中的未知数；
（2）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到没有99%的把握认为认为学生数学成绩优秀与所在学校有关．
（3）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3．结合变量对应的事件和ξ～B（3，

2

5

），写出变量的概率，做出变量的分布列，再求出变量的期望值．

解答：解：（1）由分层抽样知，甲校抽取了105×

1100

2100

=55人成绩，乙校抽取了105-55=50人成绩
∴x=6，y=7；
（2）2×2列联表如下：

	甲校	乙校	总计
优秀	10	20	30
非优秀	45	30	75
总计	55	50	105

∵K²=

105×(10×30-20×45)2

30×75×50×55

≈6.109＜6.635，
∴没有99%的把握认为认为学生数学成绩优秀与所在学校有关．
（3）由题意知，乙校优秀的概率为

2

5

，ξ的可能取值为0，1，2，3．
又ξ～B（3，

2

5

），且P（ξ=k）=C

k 3

（

2

5

）^k（

3

5

）^3-k，（k=0，1，2，3）
∴分布列为：

∴随机变量ξ的Eξ=np=3×

2

5

=

6

5

．

点评：本题主要考查离散型随机变量的期望与方差、独立性检验的应用，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，属于基础题．