Question

7．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），定义椭圆C上的点M（x₀，y₀）的“伴随点”为$N（\frac{x_0}{a}，\frac{y_0}{b}）$．
（1）求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；
（2）如果椭圆C上的点（1，$\frac{3}{2}$）的“伴随点”为（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2b}$），对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N，求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的取值范围；
（3）当a=2，b=$\sqrt{3}$时，直线l交椭圆C于A，B两点，若点A，B的“伴随点”分别是P，Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=ax}\\{{y_0}=by}\end{array}}\right.$，代入椭圆方程即可求得椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程；
（2）由题意，求得椭圆的方程，根据向量的坐标运算，即可求得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的取值范围；
（3）求得椭圆方程，设方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据向量数量积的坐标求得3+4k²=2m²，弦长公式及点到直线的距离公式，即可求得△OAB的面积，直线l的斜率不存在时，设方程为x=m，代入椭圆方程，即可求得△OAB的面积．

解答 解：（1）设N（x，y）由题意 $\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{x_0}{a}}\\{y=\frac{y_0}{b}}\end{array}}\right.$，则$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=ax}\\{{y_0}=by}\end{array}}\right.$，
又$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
∴$\frac{{{{（ax）}^2}}}{a^2}+\frac{{{{（by）}^2}}}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
从而得x²+y²=1…（3分）
（2）由$\frac{1}{2}=\frac{1}{a}$，得a=2．又$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$，得$b=\sqrt{3}$．…（5分）
∵点M（x₀，y₀）在椭圆上，$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1$，$y_0^2=3-\frac{3}{4}x_0^2$，且$0≤x_0^2≤4$，
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=（x₀，y₀）（$\frac{{x}_{0}}{2}$，$\frac{{y}_{0}}{\sqrt{3}}$）=$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{2-\sqrt{3}}{4}$x₀²+$\sqrt{3}$，
由于$\frac{{2-\sqrt{3}}}{4}＞0$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的取值范围是[$\sqrt{3}$，2]（8分）
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$P（{\frac{x_1}{2}，\frac{y_1}{{\sqrt{3}}}}），\;Q（{\frac{x_2}{2}，\frac{y_2}{{\sqrt{3}}}}）$；
1）当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，
得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0；
 有$\left\{\begin{array}{l}△=48（3+4{k^2}-{m^2}）＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{3+4{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}\end{array}\right.$①…（10分）
由以PQ为直径的圆经过坐标原点O可得：3x₁x₂+4y₁y₂=0；
整理得：$（3+4{k^2}）{x_1}{x_2}+4mk（{x_1}+{x_2}）+4{m^2}=0$②
将①式代入②式得：3+4k²=2m²，…（12分）
3+4k²＞0，则m²＞0，△=48m²＞0，
又点O到直线y=kx+m的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{4\sqrt{3}\sqrt{3+4{k}^{2}-{m}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$×$\frac{4\sqrt{3}丨m丨}{3+4{k}^{2}}$，
∴${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}|{AB}|d=\sqrt{3}$…（14分）
2）当直线l的斜率不存在时，设方程为x=m（-2＜m＜2）
联立椭圆方程得${y^2}=\frac{{3（4-{m^2}）}}{4}$；代入3x₁x₂+4y₁y₂=0，得$3{m^2}-4•\frac{{3（4-{m^2}）}}{4}=0$，
解得m²=2，从而${y^2}=\frac{3}{2}$，
S_△OAB=$\frac{1}{2}$丨AB丨×d=$\frac{1}{2}$丨m丨丨y₁-y₂丨=$\sqrt{3}$，
 综上：△OAB的面积是定值$\sqrt{3}$．…（16分）

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于难题．