Question

已知函数f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）
（1）若将函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的图象恰好关于点（

π

4

，0）对称，求实数a的最小值；
（2）若函数y=f（x）在[

b

4

π，

3b

8

π]（b∈N^*）上为减函数，试求实数b的值．

Answer 1

分析：（1）求出函数y=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度得到的解析式，利用x=

π

4

时函数值为0，求出a的表达式，然后求出最小值．
（2）求出函数的单调减区间，[

b

4

π，

3b

8

π]是减区间的子集，得到不等式组，求出实数b的值．

解答：解：（1）将函数f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)的图象，
向左平移a个单位长度得到函数
y=

2

sin[2(x+a)+

π

4

]=

2

sin(2x+2a+

π

4

)的图象．（2分）
∵函数y=

2

sin(2x+2a+

π

4

)的图象关于点(

π

4

，0)对称，
∴2×

π

4

+2a+

π

4

=kx(k∈Z)，∴a=-

3π

8

+

kπ

2

(k∈Z)．
∵a＞0∴k＞

3

4

．
∵k∈Z，∴当k=1时，amin=

π

8

．（6分）
（2）∵y=

2

sin(2x+

π

4

 )
在[

b

4

π，

3

8

bπ]（b∈N*）上为减函数，
又y=

2

sin(2x+

π

4

)的递减区间为
[kπ+

π

8

，kπ +

5π

8

]k∈Z，
∴kπ+

π

8

≤

b

4

π≤

3b

8

π≤kπ+

5π

8

．（8分）
∴

1

2

+4k≤ b≤

5

3

+

8

3

k．
由

1

2

+4k ≤

5

3

+

8

3

k，得k≤

7

8

．
又b∈N*，∴k只能取0．∴

1

2

＜b＜

5

3

，b=1．（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的基本性质，函数图象的平移，奇偶性、单调性，考查分析问题解决问题的能力，集合的基本关系．