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(本小题满分14分)

已知数列是各项均不为的等差数列,公差为为其前项和,且满足

.数列满足为数列的前n项和.

(Ⅰ)求

(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;

(Ⅲ)是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ) 解法一:在中,令

   即                        ……………………(2分)

解得,                                       …………(3分)

.               …………(5分)

解法二:是等差数列,

.                           ……………(2分)

,得 ,                      

,则.                      ……………(3分)

(求法同法一)

(Ⅱ)①当为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.                        …………(6分)

 ,等号在时取得.           

此时 需满足.                                      ……………(7分)

②当为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.                        ……………(8分)

 是随的增大而增大, 取得最小值

此时 需满足.                                     ……………(9分)

综合①、②可得的取值范围是.                      …………………(10分)

(Ⅲ)

 若成等比数列,则,即.……(11分)

(法一)由,  可得

,                                         ………(12分)

.                                        ……………(13分)

,且,所以,此时

因此,当且仅当时,数列中的成等比数列. ……………(14分)

(法二)因为,故,即

,(以下同上).                           ……………(13分)

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3
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π
4
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π
4
+x)

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2
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⑴ 求满足的关系式;

⑵ 若上恒成立,求的取值范围;

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