Question

已知函数f（x）=ln（ax+1）-ax．
（1）当a=1时，试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若g（x）=f（x）+x³-x²在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）当a=1时，先求函数f（x）=ln（x+1）-x的定义域，再求导f′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

；从而判断函数的单调性；
（2）化简g（x）=f（x）+x³-x²=ln（ax+1）-ax+x³-x²；从而可得a≥0，从而再讨论，当a=0时，g（x）=x³-x²，其在[1，+∞）上为增函数，当a＞0时，g′（x）=

a

ax+1

-a+3x²-2x=

x(3ax2+(3-2a)x-(2+a2))

ax+1

≥0；即3ax²+（3-2a）x-（2+a²）≥0在[1，+∞）上恒成立，再由二次函数的性质化为3a+（3-2a）-（2+a²）≥0；从而解得．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x的定义域为（-1，+∞）；
f′（x）=

1

x+1

-1=

-x

x+1

；
则当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）=ln（x+1）-x的单调增区间为（-1，0），单调减区间为（0，+∞）；
（2）g（x）=f（x）+x³-x²=ln（ax+1）-ax+x³-x²；
∵g（x）=f（x）+x³-x²在[1，+∞）上为增函数，
∴a≥0，
①当a=0时，g（x）=x³-x²，其在[1，+∞）上为增函数，
当a＞0时，g′（x）=

a

ax+1

-a+3x²-2x
=

x(3ax2+(3-2a)x-(2+a2))

ax+1

≥0；
即3ax²+（3-2a）x-（2+a²）≥0在[1，+∞）上恒成立，
而-

3-2a

2×3a

=

1

3

-

1

2a

＜

1

3

；
故3ax²+（3-2a）x-（2+a²）≥0在[1，+∞）上恒成立可化为
3a+（3-2a）-（2+a²）≥0；
解得，

1- 5

2

≤a≤

1+ 5

2

；
综上所述，实数a的取值范围为[0，

1+ 5

2

]．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．