Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=5，AC=4，BC=3，AA₁=4，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥B₁C；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面B₁CD．

Answer 1

证明：（Ⅰ）在△ABC中，因为AB=5，AC=4，BC=3，
所以AC⊥BC．
因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以，CC₁⊥AC．
因为BC∩AC=C，所以AC⊥平面BB₁C₁C．
所以AC⊥B₁C．
（Ⅱ）连接BC₁，交B₁C于E．
因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
所以侧面BB₁C₁C为矩形，且E为B₁C中点．
又D是AB中点，所以DE为△ABC₁的中位线，所以DE∥AC₁．
因为DE?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
所以，AC₁∥平面B₁CD．
分析：（Ⅰ） 利用勾股定理可得AC⊥BC，由直三棱柱的性质可得CC₁⊥AC，从而得到AC⊥平面BB₁C₁C，进而得到AC⊥B₁C．
（Ⅱ） 取B₁C中点E，得到 DE为△ABC₁的中位线，得到DE∥AC₁，由线面平行的判定定理证得AC₁∥平面B₁CD．
点评：本题考查证明线线垂直、线面平行的方法，线面垂直的性质定理和线面平行的 判定定理，取B₁C中点E，得到DE为△ABC₁的中位线是解题的关键．