Question

13．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（-2，0），四边形OAQP是平行四边形．
（1）若$\overrightarrow{CB}∥\overrightarrow{OP}$，求$|{\overrightarrow{OQ}}|$．
（2）求$sin（{2θ-\frac{π}{6}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）先求出P的坐标，再利用四边形OAQP是平行四边形，求$|{\overrightarrow{OQ}}|$．
（2）求出sinθ=y=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，可得sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{4}{5}$，cos2θ=cos2θ-sin2θ=$\frac{3}{5}$，即可求$sin（{2θ-\frac{π}{6}}）$的值．

解答 解：（1）设P（x，y）由题意，y＞0
因为$\overrightarrow{CB}$=（2，1），CB∥OP，
所以x=2y．又x²+y²=1，
解得y=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，（4分）
因为四边形OAQP是平行四边形，
所以
$\begin{array}{l}\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}\\|{\overrightarrow{OQ}}|=\sqrt{{{（{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}}）}^2}}=\sqrt{2+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}}\end{array}$（6分）
（2）sinθ=y=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=x=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，（8分）
所以sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{4}{5}$，cos2θ=cos2θ-sin2θ=$\frac{3}{5}$．
故$sin（{2θ-\frac{π}{6}}）$=sin2θcos$\frac{π}{6}$-cos2θsin$\frac{π}{6}$=$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$．（12分）

点评 本题考查三角函数的定义，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．