[题目]已知椭圆的上顶点为.以为圆心椭圆的长半轴为半径的圆与轴的交点分别为.．(1)求椭圆的标准方程,(2)设不经过点的直线与椭圆交于.两点.且.试探究直线是否过定点?若过定点.求出该定点的坐标.若不过定点.请说明理由．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知椭圆的上顶点为，以为圆心椭圆的长半轴为半径的圆与轴的交点分别为，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设不经过点的直线与椭圆交于，两点，且，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．

【答案】（1）

（2）直线过定点，该定点的坐标为

【解析】

利用椭圆性质，求椭圆的方程；根据题中要求，先将直线QA,PA方程设出来，再与椭圆联立方程，分别求出Q,P两点坐标，根据P,Q写出直线方程l,然后分析它的定点问题

解：（1）依题意知点的坐标为，则以点圆心，以为半径的圆的方程为令得，由圆与轴的交点分别为，，

可得，解得，故所求椭圆的标准方程为．

（2）由得，可知的斜率存在且不为．

设直线①，则②．

将①代入椭圆方程并整理，得，可得，则

同理，可得，．

由直线方程的两点式，得直线的方程为，即直线过定点，该定点的坐标为．

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	健身达人	非健身达人	总计
男	10
女		30
总计

（2）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特别推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案.

方案一：每满800元可立减100元；

方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折.

若某人打算购买1000元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.

（3）在（2）中的方案二中，金额超过800元可抽奖三次，假设三次中奖结果互不影响，且三次中奖的概率为，记为锐角的内角，

求证：

附：

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