Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC。

（1）设E是DC的中点，求证：D₁E∥平面A₁BD；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值。

Answer 1

解：（1）证明：连结B，则四边形DABE为正方形 ∴BE=AD=A1D1，且BE∥AD∥A1D1 ∴四边形A1D1EB为平行四边形 ∴D1E∥A1B 又D1E平面A1BD，A1B平面A1BD， ∴D1E∥平面A1BD。
（2）以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA=1，则 D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，2，2），A1（1，0，2） ∴ 设n=（x，y，z）为平面A1BD 的一个法向量，由 得 取z=1，则n=（-2，2，1） 又 设m=（x1，y1，z1）为平面C1BD的一个法向量 由 得 取z1=1，则m=（1，-1，1） 设m与n的夹角为α，二面角A1-BD-C1为θ，显然θ为锐角 ∴ ∴ 即所求二面角A1-BD-C1的余弦值为。