Question

【题目】用如图所示的几何体中，四边形BB1C1C是矩形，BB1⊥平面ABC，A1B1∥AB，AB=2A1B1 ， E是AC的中点．
（1）求证：A1E∥平面BB1C1C；
（2）若AC=BC，AB=2BB1 ， 求二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AB的中点F，连结EF，A1F．

∵AB=2A1B1，∴BF=A1B1，

又A1B1∥AB，∴四边形A1FBB1是平行四边形，

∴A1F∥BB1，∵E，F分别AC，AB的中点，∴EF∥BC，

又EF平面A1EF，A1F平面A1EF，EF∩A1F=F，BC平面BB1C1C，BB1平面BB1C1C，BC∩BB1=B，

∴平面A1EF∥平面BB1C1C．

又A1E平面A1EF，∴A1E∥平面BB1C1C

（2）解：（2）连结CF，则CF⊥AB，

以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，﹣1，0），A1（0，0，1），B（0，1，0），C（ ，0，0），

∴E（ ，﹣ ，0）， =（0，﹣1，1）， =（ ，﹣ ，0），

设平面A1BE的一个法向量为 =（x，y，z），

，取y=1，得 =（ ，1，1），

平面ABA1的法向量 =（1，0，0），设二面角A﹣BA1﹣E的平面角为θ，

，则cosθ= ．

∴二面角A﹣BA1﹣E的余弦值为 ，

【解析】（1）取AB的中点F，连结EF，A1F．则可通过证明平面A1EF∥平面BB1C1C得出A1E∥平面BB1C1C；（2）连结CF，则CF⊥AB，以F为原点，FC为x轴，FB为y轴，FA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BA1﹣E的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．