Question

6．$f（x）=\frac{{{3^{2x}}+1}}{{{3^{2x}}-1}}$．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数f（x）在（-∞，0）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）由分母不为零求出函数的定义域，由函数奇偶性的定义域进行判断；
（2）根据函数单调性的定义判断、证明f（x）在（-∞，0）上的单调性．

解答 解：（1）函数f（x）是奇函数，
由3^2x-1≠0得x≠0，则函数的定义域是{x|x≠}，
因为$f（-x）=\frac{{3}^{-（2x）}+1}{{3}^{-（2x）}-1}$=$\frac{{1+3}^{2x}}{{1-3}^{2x}}$=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）在（-∞，0）上是减函数，证明如下：
设x₁＜x₂＜0，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{3}^{2{x}_{1}}+1}{{3}^{2{x}_{1}}-1}$-$\frac{{3}^{2{x}_{2}}+1}{{3}^{2{x}_{2}}-1}$
=$\frac{{（3}^{2{x}_{1}}+1）（{3}^{2{x}_{2}}-1）-（{3}^{2{x}_{2}}+1）（{3}^{2{x}_{1}}-1）}{{（3}^{2{x}_{1}}-1）（{3}^{2{x}_{2}}-1）}$
=$\frac{2（{3}^{2{x}_{2}}-{3}^{2{x}_{1}}）}{{（3}^{2{x}_{1}}-1）（{3}^{2{x}_{2}}-1）}$，
∵x₁＜x₂＜0，
∴${3}^{2{x}_{1}}-1＜0$，${3}^{2{x}_{2}}-1＜0$，${3}^{2{x}_{2}}-{3}^{2{x}_{1}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，则f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在（-∞，0）上是减函数．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性的判断与证明，一般利用定义证明，考查化简、变形能力，属于中档题．