Question

已知△ABC中，三个内角A、B、C对应的三边长分别为a、b、c，且有4bcosAcosB=9asin²B．
（1）求tanA-tanB的值；
（2）求tanC的最大值，并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

考点：正弦定理,同角三角函数基本关系的运用

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，由sinB不为0，整理后再由cosAcosB不为0求出原式的值即可；
（2）由（1）中的结论，判断得到tanA与tanB大于0，利用诱导公式及两角和与差的正切函数公式化简tanC，并利用基本不等式求出tanAtanB的最大值，即为tanC的最大值，即可做出判断．

解答： 解：（1）∵4bcosAcosB=9asin²B，
∴由正弦定理化简得：4sinBcosAcosB=9sinAsin²B，
∵sinB≠0，
∴4cosAcosB=9sinAsinB，
∵cosAcosB≠0，
∴tanA•tanB=

4

9

；
（2）由（1）知，tanA•tanB=

4

9

＞0，
∴tanA＞0，tanB＞0，
∴tanA+tanB≥2

tanAtanB

=

4

3

，
∵tanC=tan[π-（A+B）]=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

9

5

（tanA+tanB）≤-

9

5

×2

tanAtanB

=-

12

5

，
当且仅当tanA=tanB，即A=B时，tanC取得最大值-

12

5

，此时△ABC为等腰三角形．

点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及基本不等式的运用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．