Question

已知抛物线x²=4y的焦点是椭圆　　一个顶点，椭圆C的离心率为，另有一圆O圆心在坐标原点，半径为．
（1）求椭圆C和圆O的方程；
（2）已知M（x₀，y₀）是圆O上任意一点，过M点作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

Answer 1

（1）解：由x²=4y可得抛物线焦点坐标为（0，1），∴b=1，
又∵，∴，∴a²=4，
∴，
∴椭圆C的方程为，圆O的方程为x²+y²=5
（2）证明：若点M的坐标为（2，1），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），则过这四点分别作满足条件的直线l₁，l₂，若一条直线斜率为0，则另一条斜率不存在，则l₁⊥l₂
若直线l₁，l₂斜率都存在，则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y₀=k（x-x₀），
由得
即
则
化简得
又，
∴
设直线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，因为l₁，l₂与椭圆都只有一个公共点，
所以k₁，k₂满足，
∴，
∴l₁⊥l₂
分析：（1）确定抛物线焦点坐标，可得b的值，利用椭圆C的离心率为，另有一圆O圆心在坐标原点，半径为，即可求椭圆C和圆O的方程；
（2）分类讨论，利用韦达定理，计算斜率的积为-1，即可证得结论．
点评：本题考查椭圆与圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．