Question

1．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x），x＜0}\\{\frac{x}{{e}^{x-1}}．x≥0}\end{array}\right.$，若方程[f（x）]²+mf（x）-m（m+1）=0有四个不等的实数根，则m的取值范围是（　　）

• A． -1≤m＜$\frac{4}{5}$
• B． m≤-1或m＞1
• C． m=-1或m＞1
• D． m=-1或0＜m＜1

Answer 1

分析 作出f（x）的函数图象，得出方程f（x）=t的解得个数，从而确定关于t的方程t²+mt-m（m+1）=0的解得分布情况，根据二次函数的性质列出不等式解出m的范围．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：

令t=f（x），由图可知，
当t＜0或t＞1时，方程f（x）=t有1解；
当t=0或t=1时，方程f（x）=t有2解；
当0＜t＜1时，方程f（x）=t有3解．
若方程[f（x）]²+mf（x）-m（m+1）=0有四个不等的实数根，
则方程t²+mt-m（m+1）=0必有两个不等的实数根，
∴△=m²+4m（m+1）＞0，解得m＞0，或m＜-$\frac{4}{5}$．
不妨设这两个根为t₁＜t₂且t₁＜t₂，则$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}=0}\\{{t}_{2}=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}＜0}\\{0＜{t}_{2}＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜{t}_{1}＜1}\\{{t}_{2}＞1}\end{array}\right.$，
令g（t）=t²+mt-m（m-1），
则$\left\{\begin{array}{l}{m（m-1）=0}\\{1+m-m（m-1）=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m（m-1）＞0}\\{1+m-m（m-1）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m（m-1）＜0}\\{1+m-m（m-1）＜0}\end{array}\right.$，
解得0＜m＜1或m=-1．
故选D．

点评 本题考查了方程的解与函数图象的关系，二次函数的性质，属于中档题．