Question

已知a，b为正实数．
（1）若函数f(x)=

lnx

x

，求f（x）的单调区间
（2）若e＜a＜b（e为自然对数的底），求证：a^b＞b^a；（3）求满足a^b=b^a（a≠b）的所有正整数a，b的值．

Answer 1

分析：（1）先求函数f(x)=

lnx

x

的导函数f′(x)=

1-lnx

x2

，再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函数的单调区间
（2）利用（1）的结论，若e＜a＜b，则f（a）＞f（b），即

lna

a

＞

lnb

b

，即lna^b＞lnb^a，再由函数y=lnx的单调性即可得证
（3）利用（1）的结论当x∈（0，e）时，f（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，f（x）为减函数，若a^b=b^a（a≠b），则a、b一定分布在e的两边，通过列举求值可得正整数a，b的值

解答：解：（1）∵f(x)=

lnx

x

，则f′(x)=

1-lnx

x2

，
当0＜x＜e时，f′（x）＞0；当x＞e时，f′（x）＜0．
∴当x∈（0，e）时，f（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，f（x）为减函数．
（2）由上知，若e＜a＜b，f（a）＞f（b），得：

lna

a

＞

lnb

b

，∴blna＞alnb，即lna^b＞lnb^a，∴a^b＞b^a；
（3）由a^b=b^a得：

lna

a

=

lnb

b

．
∵当x∈（0，e）时，f（x）为增函数，当x∈（e，+∞）时，f（x）为减函数，∴

ln1

1

＜

ln2

2

＜

lne

e

＞

ln3

3

＞

ln4

4

＞

ln5

5

＞…，
发现

ln2

2

=

ln4

4

，
∴a=4，b=2或a=2，b=4．

点评：本题考查了利用导数求函数单调区间的方法，并利用单调性证明不等式，解题时要认真观察，发现函数性质与已知的联系，巧妙而准确的解决问题