Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足：①f（1）=3；②f（x）≥2对一切x∈[0，1]恒成立；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2
（1）求f（0）的值
（2）设s，t∈[0，1]，且s＜t，求证：f（s）≤f（t）
（3）试比较与（n∈N）的大小；
（4）某同学发现，当（n∈N）时，有f（x）＜2x+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．

Answer 1

解：（1）由③，令x₁=x₂=0，f（0）≥f（0）+f（0）-2，∴f（0）≤2
又f（0）≥2，则f（0）=2；
（2）设s，t∈[0，1]，且s＜t，则t-s∈[0，1]．
∴f（t）=f[（t-s）+s]≥f（t-s）+f（s）-2．
∴f（t）-f（s）≥f（t-s）-2≥0．∴f（t）≤f（s）．
（3）在③中，令x₁=x₂=，得 （8分）
∴
则 ． （11分）
（Ⅲ）对x∈[0，1]，总存在n∈N，满足 ＜x≤． （13分）
由（Ⅰ）与（Ⅱ），得 ，又2x+2＞2•+2=+2．
∴f（x）＜x+2．
综上所述，对任意x∈[0，1]．f（x）＜x+2恒成立． （16分）
分析：（1）由③，令x₁=x₂=0，结合f（0）≥2可求f（0）的值
（2）设s，t∈[0，1]，且s＜t，则t-s∈[0，1]．从而f（t）=f[（t-s）+s]≥f（t-s）+f（s）-2，故f（t）-f（s）≥f（t-s）-2≥0．可得f（t）≤f（s）．
（3）题中条件：f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2，令x₁=x₂=，得 ，利用它进行放缩，可证得答案，
（4）因为由题意可得：对x∈[0，1]，总存在n∈N，满足 ＜x≤．结合（I）、（II）可证得（III）．
点评：本题考查了抽象函数，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．