Question

11．已知函数f（x）=2cos2x+sin²x
（1）求f（$\frac{π}{3}$）；
（2）求f（x）的最值及此时x的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简可得解析式f（x）=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$cos2x，代入即可求值．
（2）由（1）结合余弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：f（x）=2cos2x+sin²x=2cos2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$cos2x，
（1）f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$cos$\frac{π}{3}$=-$\frac{1}{4}$；
（2）当cos2x=-1时，即x=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，f（x）的最小值为$\frac{1}{2}$$-\frac{3}{2}$=-1；
当cos2x=1时，即x=kπ，k∈Z时，f（x）的最大值为$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$=2；

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，余弦函数的图象和性质的应用，属于基本知识的考查．