Question

【题目】已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x）﹣f（x）＞1，f（0）=2016，则不等式f（x）＞2017ex﹣1（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A.（﹣∞，0）∪（0，+∞）
B.（2017，+∞）
C.（0，+∞）
D.（0，+∞）∪（2017，+∞）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：设g（x）=e﹣xf（x）+e﹣x，

则g′（x）=﹣e﹣xf（x）+e﹣xf′（x）﹣e﹣x=e﹣x[f'（x）﹣f（x）﹣1]，

∵f（x）﹣f′（x）＞1，∴f（x）﹣f′（x）﹣1＞0，

∴g′（x）＞0，

∴y=g（x）在定义域上单调递增，g（0）=2017，

∵f（x）＞2017ex﹣1，∴e﹣xf（x）＞2017﹣e﹣x，

得到g（x）＞2017=g（0），

∴g（x）＞g（0），得x＞0，

∴f（x）＞2017ex﹣1的解集为（0，+∞），

故选：C．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．