Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别为PA，BC的中点，且PD=AD=$\sqrt{2}$
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD．
（3）求三棱锥A-MBC的体积．

Answer 1

分析 （1）取PD中点E，连结ME，CE，可证明四边形MNCE是平行四边形，得到MN∥CE，从而得出结论MN∥平面PCD；
（2）连结AC，可证明平面PBD内的直线BD⊥平面PAC即可；
（3）连结DM，易证CD∥平面PAB，DM⊥平面PAB，故点C到平面PAB的距离为DM，求出棱锥C-AMB的底面直角边长AB，AM，代入公式即可求得V_棱锥A-MBC=V_棱锥C-AMB．

解答 证明：（1）取PD中点E，连结ME，CE，则ME是△PAD的中位线，
∴ME∥AD，ME=$\frac{1}{2}$AD，
∵底面ABCD是正方形，N是BC中点，
∴NC∥AD，NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD，
∴ME∥NC，ME=NC，
∴四边形MNCE是平行四边形，∴MN∥CE，
∵CE?平面PCD，MN?平面PCD，
∴MN∥平面PCD．
（2）连结AC，
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
又∵PD?平面PBD，BD?平面PBD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD，∵AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
解：（3）连结DM，MB，
∵PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PD⊥AB，∵AD⊥AB，PD?平面PAD，AD?平面PAD，PD∩AD=D，
∴AB⊥平面PAD，∵DM?平面PAD，
∴AB⊥DM，AB⊥AM，
∵PD=AD，M是PA中点，
∴DM⊥PA．
又∵AB?平面PAB，PA?平面PAB，AB∩PA=A，
∴DM⊥平面PAB，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB=AD=$\sqrt{2}$，AM=$\frac{1}{2}$PA=$\frac{1}{2}$$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=1．DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=1．
∵AB?平面PAB，CD?平面PAB，
∴CD∥平面PAB，
设点C到平面PAB的距离为d．则d=DM=1．
∴V_棱锥A-MBC=V_棱锥C-AMB=$\frac{1}{3}•$$\frac{1}{2}$•AB•AM•DM=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查了线面平行，面面垂直的判定和几何体体积计算，构造平行线和找到题中的垂直关系是解题关键．