Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AA₁，M为CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：BM⊥AB₁；
（Ⅱ）试在棱AC上确定一点N，使得AB₁∥平面BMN．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取A₁B₁的中点F，先利用△A₁B₁C₁是正三角形，证得C₁F⊥A₁B₁．?B₁B⊥C₁F．?ME⊥面BB₁A₁A；再利用在面BB₁C₁C中AB₁⊥A₁B，
就可得到AB₁⊥平面BEM，进而证得BM⊥AB₁；
（Ⅱ）找N为AC的三等分点，利用△CE₁M∽△B₁E₁B，?AB₁∥NE₁?AB₁∥平面BMN．

解答：解：（Ⅰ）证明：取A₁B₁的中点F，连接A₁B，AB₁交于点E，连接EF，C₁F．
因为△A₁B₁C₁是正三角形，
所以C₁F⊥A₁B₁．
又ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，所以B₁B⊥面A₁B₁C₁，所以B₁B⊥C₁F．
所以有C₁F⊥面BB₁A₁A．
?ME⊥面BB₁A₁A?ME⊥AB₁，
又在面BB₁C₁C中AB₁⊥A₁B，
所以AB₁⊥平面BEM，
所以BM⊥AB₁；
（Ⅱ）N为AC的三等分点，CN：NA=1：2．
连接B₁C，B₁C∩BM=E₁，
∵△CE₁M∽△B₁E₁B，
∴

CE1

E1B1

=

CM

BB 1

=

1

2

，
∴

CN

NA

=

CE1

E1B1

=

1

2

，∴AB₁∥NE₁
又∵E₁N?面BMN，AB₁?面BMN
∴AB₁∥平面BMN

点评：本题是对线线垂直和线面平行的综合考查．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行