Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）当时，证明有极小值点，且；

（Ⅱ）证明．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）求得，分析出函数在上为增函数，结合零点存在定理可证得结论成立；

（Ⅱ）利用导数证明出，由此可得出结论.

（Ⅰ）当时，，该函数的定义域为，.

所以函数在为增函数，且，，

于是存在使，且当时，；当时，.

所以，函数在上单调递减，在上单调递增.

所以函数的极小值点，且；

（Ⅱ）先证明不等式.

构造函数，，则，令，得.

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

所以，函数的最小值为，；

接下来证明不等式.

构造函数，其中，则，令得.

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

所以，函数的最小值为，.

所以，，，即，

因此，.