Question

设定义域为R的函数f(x)满足下列条件：①对任意x∈R，f(x)＋f(－x)＝0；②对任意x∈[－1,1]，都有>0，且f(－1)＝－1.若函数f(x)≤t²－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时，t的取值范围是(　　)

A．－2≤t≤2

B．t≤－或t＝0或t≥

C．－≤t≤

D．t≤－2或t＝0或t≥2

Answer 1

　D

[分析]　函数f(x)≤t²－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立⇔在[－1,1]上，f(x)_max≤t²－2at＋1，于是由函数的性质可以先求出f(x)_max.

[解析]　由题知f(x)是奇函数，在[－1,1]上是增函数，且f(－1)＝－1，所以在[－1,1]上，f(x)_max＝f(1)＝－f(－1)＝1.函数f(x)≤t²－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立⇔t²－2at＋1≥1⇔t²－2at≥0恒成立．

设g(a)＝t²－2at，a∈[－1,1]，则⇔⇔t≤－2或t＝0或t≥2.故选D.