Question

已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线C₁的内切圆半径为．记C₂为以曲线C₁与坐标轴的交点为顶点的椭圆．

(Ⅰ)求椭圆C₂的标准方程；

(Ⅱ)设AB是过椭圆C₂中心的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上异于椭圆中心的点．

(1)若|MO|＝λ|OA|(O为坐标原点)，当点A在椭圆C₂上运动时，求点M的轨迹方程；

(2)若M是l与椭圆C₂的交点，求△AMB的面积的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由题意得 　　又，解得，． 　　因此所求椭圆的标准方程为． 　　(Ⅱ)(1)假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为 　　，． 　　解方程组得，， 　　所以． 　　设，由题意知， 　　所以，即， 　　因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即， 　　因此， 　　又，所以，故． 　　又当或不存在时，上式仍然成立． 　　综上所述，的轨迹方程为． 　　(2)当存在且时，由(1)得，， 　　由解得，， 　　所以，，． 　　解法一：由于 　　， 　　当且仅当时等号成立，即时等号成立， 　　此时面积的最小值是． 　　当，． 　　当不存在时，． 　　综上所述，的面积的最小值为． 　　解法二：因为， 　　又，， 　　当且仅当时等号成立，即时等号成立，此时面积的最小值是． 　　当，． 　　当不存在时，． 　　综上所述，的面积的最小值为．