Question

如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且

AC

•

BC

=0，|BC|=2|AC|．
（I）建立适当的坐标系，求椭圆方程；
（II）如果椭圆上有两点P、Q，使∠PCQ的平分线垂直于AO，证明：存在实数λ，使

PQ

=λ

AB

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程，根据长轴求得a，点A是长轴的一个顶点可求得A的坐标．根据

AC

•

BC

=0 ， |

BC

|=2|

AC

|判断△AOC是等腰直角三角形，进而求得C的坐标代入椭圆的方程求得b，最后可得椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线PC的方程与椭圆方程联立，消元后根据△＞0判断k的范围．设点P（x₁，y₁）由韦达定理可求得x₁和y₁关于k的表达式，直线CP、CQ与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形推断直线CP、CQ的斜率互为相反数，进而得到k的范围，同样的设点Q（x₂，y₂），根据韦达定理求得x₂和y₂关于k的表达式，根据椭圆是中心对称图形求得点B的坐标，根据

PQ

和

AB

关系得证．

解答：解：（I）以O为原点，OA为X轴建立直角坐标系，设A（2，0），则椭圆方程为

x2

4

+

y2

b2

=1…2′
∵O为椭圆中心，∴由对称性知|OC|=|OB|
又∵

AC

•

BC

=0，∴AC⊥BC
又∵|BC|=2|AC|∴|OC|=|AC|
∴△AOC为等腰直角三角形
∴点C的坐标为（1，1）∴点B的坐标为（-1，-1）…4
将C的坐标（1，1）代入椭圆方程得b2=

4

3

，
则求得椭圆方程为

x2

4

+

3y2

4

=1…6′
（II）由于∠PCQ的平分线垂直于OA（即垂直于x轴），不妨设PC的斜率为k，则QC的斜率为-k，因此PC、QC的直线方程分别为y=k（x-1）+1，y=-k（x-1）+1
由

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3y2 4 =1

得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0*）…8′
∵点C（1，1）在椭圆上，
∴x=1是方程（*）的一个根，∴x_P•1=

3k2-6k-1

3k2+1

即x_P=

3k2-6k-1

3k2+1

同理x_Q=

3k2+6k-1

3k2+1

…9′
∴直线PQ的斜率为

yP-yQ

xP-xQ

=

k(xP+xQ)-2k

xP-xQ

=

k• 2(3k2-1) 3k2+1 -2k

-12k 3k2+1

=

1

3

（定值）…11′
又∠ACB的平分线也垂直于OA
∴直线PQ与AB的斜率相等（∵k_AB=

1

3

）
∴向量

PQ

∥

AB

，即总存在实数λ，使

PQ

=λ

AB

成立．…12′

点评：本题以向量为载体，主要考查了椭圆的标准方程和平面向量的知识．能考查学生综合运用所学知识的能力．