Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（3^0.3）•f（3^0.3），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（log₃）•f（log₃），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c
B．c＞＞b＞a
C．c＞a＞b
D．a＞c＞b

Answer 1

【答案】分析：构造辅助函数F（x）=xf（x），由导函数判断出其在（-∞，0）上的单调性，而函数F（x）为实数集上的偶函数，则有在（0，+∞）上的单调性，再分析出，3^0.3，log_π3的大小，即可得到答案．
解答：解：令F（x）=xf（x），则F^′（x）=f（x）-xf^′（x）．
因为f（x）+xf′（x）＜0，
所以函数F（x）在x∈（-∞，0）上为减函数．
因为函数y=x与y=f（x）都是定义在R上的奇函数，
所以函数F（x）为定义在实数上的偶函数．
所以函数F（x）在x∈（0，+∞）上为增函数．
又3^0.3＞3=1，0=log_π1＜log_π3＜log_ππ=1，．
则F（||）＞F（3^0.3）＞F（log_π3）．
所以（log₃）•f（log₃）＞（3^0.3）•f（3^0.3）＞（log_π3）•f（log_π3），
即c＞a＞b．
故选C．
点评：本题考查了导数的运算，考查了函数的单调性与奇偶性，考查了不等式的大小比较，解答此题的关键是构造出函数F（x），同时运用了偶函数中有f（x）=f（|x|），此题是中档题．