Question

（本题文科学生做）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F₁（-4，0），F₂（4，0），A（0，8），直线y=t（0＜t＜8）与线段AF₁、AF₂分别交于点P、Q．
（Ⅰ）当t=3时，求以F₁，F₂为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点Q作直线QR∥AF₁交F₁F₂于点R，记△PRF₁的外接圆为圆C．
①求证：圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②圆C是否恒过异于点F₁的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆的方程，根据当t=3时，PQ中点为（0，3），所以b=3，利用F₁（-4，0），F₂（4，0），即可求得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）①确定直线AF₁：y=2x+8；AF₂：y=-2x+8，求得P（，t），Q（，t），R（4-t，0），利用待定系数法，设△PRF₁的外接圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，进而可确定圆心坐标，即可证得结论；
②由①可得圆C的方程，分离参数，分别令其为0，即可求得定点的坐标．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，当t=3时，PQ中点为（0，3），所以b=3
∵a²-b²=16，∴a²=25
∴椭圆的标准方程为；
（Ⅱ）①证明：直线AF₁：y=2x+8；AF₂：y=-2x+8；
所以可得P（，t），Q（，t）
∵直线QR∥AF₁交F₁F₂于点R，∴R（4-t，0）
设△PRF₁的外接圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则

∴
∴圆心坐标为
∴圆心C在定直线7x+4y+8=0上；
②由①可得圆C的方程为：x²+y²+tx+（4-）y+4t-16=0
整理可得（x²+y²+4y-16）+t（x-y+4）=0
∴x²+y²+4y-16=0，且x-y+4=0
联立此两方程解得x=，y=或x=-4，y=0
∴圆C恒过异于点F₁的一个定点，该点的坐标为（，）．
点评：本题考查圆锥曲线的综合，考查椭圆的标准方程，考查圆的方程，考查恒过定点问题，解题的关键是利用待定系数法，分离参数法，属于中档题．