Question

已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（-x），且当x∈（0，1）时，f（x）=2^x．
（1）证明f（x+4）=f（x）．（2）求f(log

1

2

18)的值．

Answer 1

分析：（1）由奇函数f（x）满足f（x+2）=f（-x），经过变形即可得出f（x+4）=f（x）．
（2）求f(log

1

2

18)的值要先对log

1

2

18化简，再根据函数的性质求值．

解答：解：（1）∵奇函数f（x）满足f（x+2）=f（-x），∴f（x+2）=-f（x）=f（x-2），∴周期是4，故有f（x+4）=f（x）
（2）f(log

1

2

18)=f（-1-2log₂3）=f(-3-2log2

3

2

)=f(1-2log2

3

2

)=f(log2

8

9

)=2log2

8

9

=

8

9

点评：本题考点是函数奇偶性的性质，考查利用函数的性质证明恒等式以及求值，解答本题关键是正确理解奇函数f（x）满足f（x+2）=f（-x）的意义．