【题目】已知函数,.
(Ⅰ)记,试判断函数的极值点的情况;
(Ⅱ)若有且仅有两个整数解,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)求导后可知的符号由的符号决定;根据的单调性,结合存在性定理可知存在唯一的,使得,从而得到得单调性,根据极值与单调性的关系可确定极值点;(Ⅱ)将所求不等式化为;当和时,根据(Ⅰ)的结论可验证出都有无穷多个整数解,不合题意;当时,若,由时,可知无整数解,不合题意;若,可知,解不等式组求得结果.
(Ⅰ)由得:
设,则在上单调递增
又,
存在唯一的,使得,即
当时,;当时,
在上单调递减;在上单调递增
为的极小值点,无极大值点
(Ⅱ)由得:,即
①当时,恒成立,有无穷多个整数解,不合题意
②当时,,
, 当时,由(Ⅰ)知:
有无穷多个整数解,即有无穷多个整数解,不合题意
③当时,
i.当时,,又
两个整数解为:
,解得:
ii.当时,
当时,由(Ⅰ)知: 无整数解,不合题意
综上所述:
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【题目】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.
(1)求sinBsinC;
(2)若3cosB(sin2A+sin2B﹣sin2C)=sinAsinB,a=6,求b+c的值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,,侧面底面,,,、分别为,的中点,点在线段上.
(1)若为的中点,求证:平面平面;
(2)求证:平面;
(3)若,求点到平面的距离.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,已知曲线C1:x2+y2=1,以平面直角坐标系xoy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线:ρ(2cosθ-sinθ)=6.
(Ⅰ)将曲线C1上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2,试写出直线的直角坐标方程和曲线C2的参数方程.
(Ⅱ)在曲线C2上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值.
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【题目】我市准备实施天然气价格阶梯制,现提前调查市民对天然气价格阶梯制的态度,随机抽查了名市民,现将调查情况整理成了被调查者的频率分布直方图(如图)和赞成者的频数表如下:
年龄(岁) | ||||||
赞成人数 |
(1)若从年龄在,的被调查者中各随机选取人进行调查,求所选取的人中至少有人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率;
(2)若从年龄在,的被调查者中各随机选取人进行调查,记选取的人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.
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