已知点P为圆x2+y2=4上的动点,且P不在x轴上,PD⊥x轴,垂足为D,线段PD中点Q的轨迹为曲线C,过定点M(t,0)(0<t<2)任作一条与y轴不垂直的直线l,它与曲线C交于A、B两点.
(1)求曲线C的方程;
(2)试证明:在x轴上存在定点N,使得∠ANB总能被x轴平分.
解:(1)设Q(x,y)为曲线C上的任意一点,则点P(x,2y)在圆x
2+y
2=4上,
∴x
2+4y
2=4,曲线C的方程为
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/155890.png)
.(2分)
(2)设点N的坐标为(n,0),直线l的方程为x=sy+t,(3分)
代入曲线C的方程
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/1164.png)
,可得(s
2+4)y
2+2tsy+t
2-4=0,(5分)
∵0<t<2,∴△=(2ts)
2-4(s
2+4)(t
2-4)=16(s
2+4-t
2)>0,
∴直线l与曲线C总有两个公共点.(也可根据点M在椭圆C的内部得到此结论)(6分)
设点A,B的坐标分别(x
1,y
1),(x
2,y
2),
则
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/525174.png)
,
要使∠ANB被x轴平分,只要k
AN+k
BN=0,(9分)
即
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/119555.png)
,y
1(x
2-n)+y
2(x
1-n)=0,(10分)
也就是y
1(sy
2+t-n)+y
2(sy
1+t-n)=0,2sy
1y
2+(t-n)(y
1+y
2)=0,
即
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/525175.png)
,即只要(nt-4)s=0(12分)
当
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/525176.png)
时,(*)对任意的s都成立,从而∠ANB总能被x轴平分.(13分)
所以在x轴上存在定点
![](http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/525177.png)
,使得∠ANB总能被x轴平分.(14分)
分析:(1)设Q(x,y)为曲线C上的任意一点,根据点P(x,2y)在圆x
2+y
2=4上,得出x,y之间的关系即为曲线C的方程;
(2)设点N的坐标为(n,0),直线l的方程为x=sy+t,将直线l的方程代入曲线C的方程消去x得到关于y的一元二次方程,再结合根系数的关系利用“要使∠ANB被x轴平分,只要k
AN+k
BN=0”即可证得在x轴上存在定点N,使得∠ANB总能被x轴平分,从而解决问题.
点评:本小题主要考查椭圆的应用、轨迹方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.对于存在性问题,可先假设存在,求出满足题意的值,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.