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如图,抛物线的顶点O在坐标原点,焦点在y轴负半轴上.
过点M(0,-2)作直线l与抛物线相交于A,B两点,且满足
(Ⅰ)求直线l和抛物线的方程;
(Ⅱ)当抛物线上一动点P从点A向点B运动时,求△ABP面积的最大值.

【答案】分析:(Ⅰ)由题意设出直线和抛物线的方程,联立方程用根与系数法和向量相等求出p,k的值;
(Ⅱ)由题意AB为定长,只要AB边上的高最大,则三角形的面积最大;过点P的切线与l平行时,△APB得面积最大,求出P点的坐标,再求P点到直线AB的距离和AB的长,再求出面积.
解答:解:(Ⅰ)根据题意可设直线l的方程为y=kx-2,抛物线方程为x2=-2py(p>0) (2分)
得x2+2pkx-4p=0 (3分)
设点A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4
(4分)

,解得(5分)
故直线l的方程为y=2x-2,抛物线方程为x2=-2y. (6分)
(Ⅱ)据题意,当抛物线过点P的切线与l平行时,△APB得面积最大(7分)
设点P(x,y),由y'=-x,故由-x=2得x=-2,则
∴P(-2,-2) (9分)
∴点P到直线l的距离(10分)
,得x2+4x-4=0 (11分)
(12分)
∴△ABP的面积的最大值为(14分)
点评:本题为直线与抛物线的综合问题,常用的方法联立直线及抛物线的方程,再利用韦达定理求解,本题还用数形结合思想求最大值,考查了运算能力和数形结合思想.
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,抛物线的顶点O在坐标原点,焦点在y轴负半轴上.
过点M(0,-2)作直线l与抛物线相交于A,B两点,且满足
OA
+
OB
=(-4,-12)

(Ⅰ)求直线l和抛物线的方程;
(Ⅱ)当抛物线上一动点P从点A向点B运动时,求△ABP面积的最大值.

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(本小题满分12分)如图,抛物线的顶点O在坐标原点,焦点在y轴的负半轴上,过点M(0,-2)作直线l与抛物线相交于A,B两点,且满足=(-4,-12).

 

(1)求直线l和抛物线的方程;

(2)当抛物线上一动点P在点A和B之间运动时,求ΔABP面积的最大值.

 

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如图,抛物线的顶点O在坐标原点,焦点在y轴负半轴上.
过点M(0,-2)作直线l与抛物线相交于A,B两点,且满足
(Ⅰ)求直线l和抛物线的方程;
(Ⅱ)当抛物线上一动点P从点A向点B运动时,求△ABP面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:湖南省师大附中2010届高三第二次月考(理) 题型:解答题

 

如图,抛物线的顶点O在坐标原点,焦点在y轴负半轴上,过点M(0,-2)作直线l与抛物线相交于A,B两点,且满足.

(Ⅰ)求直线l和抛物线的方程;

(Ⅱ)当抛物线上一动点P从点A到B运动时,求△ABP面积的最大值.

 

 

 

 

 

 

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