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设函数y=
1
x
图象上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形OB1A1,A1B2A2,…,直角顶点在函数y=
1
x
的图象上,设An的坐标为(an,0),A0为原点.
(1)求a1,并求出an与an-1之间的关系式;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)bn=
2
an-1+an
(n≥2,n∈N*)
,求数列{bn}的前n项和.
分析:(1)由题意,a1=
a1
2
+
2
a1
,可得a1的值,求出Bn的坐标,代入曲线方程,可得结论;
(2)确定数列{an2}是首项为4,公差为4的等差数列,可求数列{an}的通项公式;
(3)确定通项,利用累加法可求和.
解答:解:(1)由题意,a1=
a1
2
+
2
a1
,解得a1=2.
过Bn点作BnH⊥x轴,垂足为H,
∵△An-1BnAn为等腰直角三角形,且Bn为直角顶点,
∴|BnH|=
1
2
|An-1An|=
an-an-1
2

∴Bn点的纵坐标为
an-an-1
2

∵△An-1BnAn为等腰直角三角形,且Bn为直角顶点,
∴H点为线段An-1An的中点,
∴H点横坐标为
an+an-1
2

∵BnH⊥x轴,∴Bn点的横坐标也为
an+an-1
2

∵Bn点为函数y=
1
x
(x>0)图象上的点,
an+an-1
2
an-an-1
2
=1
an2-an-12=4.
(2)∵an2-an-12=4,a1=2,
∴数列{an2}是首项为4,公差为4的等差数列,
an2=4n
an=2
n

(3)∵bn=
2
an-1+an
=
1
n-1
+
n
=
n
-
n-1

∴Sn=(
1
-0)+(
2
-
1
)+…+(
n
-
n-1
)=
n
点评:本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法,考查函数与数列知识的综合,确定数列的通项是关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•哈尔滨一模)已知函数f(x)=lnx,g(x)=ex
( I)若函数φ(x)=f(x)-
x+1x-1
,求函数φ(x)的单调区间;
(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x0,f (x0))处的切线.证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切.

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义:已知函数f(x)与g(x),若存在一条直线y=kx+b,使得对公共定义域内的任意实数均满足g(x)≤f(x)≤kx+b恒成立,其中等号在公共点处成立,则称直线y=kx+b为曲线f(x)与g(x)的“左同旁切线”.已知f(x)=Inx,g(x)=1-
1
x

(I)证明:直线y=x-l是f(x)与g(x)的“左同旁切线”;
(Ⅱ)设P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))是函数 f(x)图象上任意两点,且0<x1<x2,若存在实数x3>0,使得f′(x3)=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
.请结合(I)中的结论证明x1<x3<x2

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科目:高中数学 来源: 题型:

P1,P2,…,Pn…顺次为函数y=
1
x
 (x>0)
图象上的点(如图)Q1,Q2,…,Qn…顺次为x轴上的点,且△OP1Q1,△Q1P2Q2,…,△Qn-1PnQn…均为等腰直角三角形(其中Pn为直角顶点),设Qn的坐标为(xn,0)(n∈N+),则数列{xn}的通项公式为
xn=2
n
xn=2
n

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数y=
2x-1
x-2
,则下列命题正确的是(  )
①图象上一定存在两点它们的连线平行于x轴;
②图象上任意两点的连线都不平行于y轴;
③图象关于直线y=x对称;
④图象关于原点对称.
A、①③B、②③C、②④D、③

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