Question

如图1-3-16,已知Rt△ABC中,D是斜边AB的中点,DE⊥AB于D,交AC于F,交BC延长线于E,BG⊥BA,交DC延长线于H,交AC延长线于G.

图1-3-16

求证:(1)GH·CE =DF·BC;

(2)DC²=DF·DE;

(3)CH·CD =GH·DE;

(4)GB∶BA =CH∶BH;

(5)CH·EF =BA·DF.

Answer 1

思路分析:(1)欲证原式,只需证=,可在图(c)中由BH∥DE,容易得到=, =,利用中间比代换即可,还可选中间比为.?

(2)在图(f)中欲证原式,只需证=,发现它们分别属于有公共角∠CDF的两个三角形:△DCF和△DEC.只需利用“直角三角形斜边中线的性质”及“同角的余角相等”证得∠1=∠E即可.?

(3)欲证原式,只需证=.可直接证明△CGH∽△ECD(图(c)也可利用相似三角形的传递性(△CGH∽△CFD,△CFD∽△ECD)来实现.?

(4)所要证的比例式中的四条线段既不满足“三角形一边的平行线”条件,也不构成相似三角形的对应边,但在图(e)中发现,可通过△GBA∽△GCB得到中间比=.证明=可由证明△GCH∽△CBH来实现.?

(5)欲证原式,只需证=.但无法由证明三角形相似实现,经过观察图(d), ,而==,可与图(c)联系起来,得到 ()=·()=

 ()= (三角形一边平行线的性质),其中2CD =BA(图(b)).因此通过对线段的倍、分的转化(,2CD =BA),利用换中间比,换线段使问题得到解决.

解:同上分析:?