Question

已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC的外心，延长CA到P，再延长AB

到Q，使AP=BQ.求证：O，A，P，Q四点共圆.

Answer 1

证明  连接OA，OC，OP，OQ.

∵O是△ABC的外心，∴OA=OC.

∴∠OCP=∠OAC.

由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上，

∴∠OAC=∠OAQ，

从而∠OCP=∠OAQ，

在△OCP和△OAQ中，

由已知CA=AB，AP=BQ，

∴CP=AQ.又OC=OA，

∠OCP=∠OAQ，

∴△OCP≌△OAQ，

∴∠CPO=∠AQO，

∴O，A，P，Q四点共圆.

解析:

证明  连接OA，OC，OP，OQ.

∵O是△ABC的外心，∴OA=OC.

∴∠OCP=∠OAC.

由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上，

∴∠OAC=∠OAQ，

从而∠OCP=∠OAQ，

在△OCP和△OAQ中，

由已知CA=AB，AP=BQ，

∴CP=AQ.又OC=OA，

∠OCP=∠OAQ，

∴△OCP≌△OAQ，

∴∠CPO=∠AQO，

∴O，A，P，Q四点共圆.