Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）与抛物线y²=2px（p＞0）有共同的焦点F，过点F作与x轴垂直的直线l交抛物线于A、B两点，且与双曲线在第一象限内的交点为P，O为坐标原点，若

OP

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），λ²+μ²=

5

8

，则该双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点，即有c=2p，令x=c，分别代入抛物线方程和双曲线方程，求得A，B，P的坐标，再由

OP

=λ

OA

+μ

OB

，得到λ，μ的方程，将两式相加，再由λ²+μ²=

5

8

，可得a，b，c的关系式，再由离心率公式计算即可得到．

解答： 解：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（

p

2

，0），
则由题意可得，c=

p

2

，
即有抛物线方程为y²=4cx，
令x=c，代入抛物线方程，可得y=±2c，
代入双曲线方程，可得y=±

b c2-a2

a

=±

b2

a

，
可设A（c，2c），B（c，-2c），P（c，

b2

a

），
由

OP

=λ

OA

+μ

OB

，即有

λ+μ=1 λ-μ= b2 2ac

，
两式平方相加可得，λ²+μ²=

1

2

（1+

b4

4a2c2

），
由λ²+μ²=

5

8

，可得，b²=ac
由b²=c²-a²，即为c²-ac-a²=0，
由e=

c

a

可得，e²-e-1=0，
由e＞1，可得e=

1+ 5

2

．
故答案为：

1+ 5

2

．

点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查平面向量的基本定理及运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．