Question

某人有楼房一幢，室内面积共计180m²，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m²，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15m²，可以住游客3名，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，每天能获得最大的房租收益？（注：设分割大房间为x间，小房间为y间，每天的房租收益为z元）
（1）写出x，y所满足的线性约束条件；
（2）写出目标函数的表达式；
（3）求x，y各为多少时，每天能获得最大的房租收益？每天能获得最大的房租收益是多少？

Answer 1

分析：先设分割出大房间为x间、小房间为y间，收益为z元，可得z=200x+150y．列出约束条件并根据约束条件画出可行域，设再利用z的几何意义求最值，求出直线z=200x+150y过可行域内的整数点坐标，进而得到最大的房租收益和相应的x、y值．

解答：解：设分割大房间为x间，小房间为y间，收益为z元
目标函数为z=200x+150y
根据题意得：

18x+15y≤180 1000x+600y≤8000 x、y∈N

，即

6x+5y≤60 5x+3y≤40 x、y∈N

作出约束条件表示的平面区域，如图所示
把目标函数z=200x+150y化为y=-

4

3

x+

z

150

平移直线，直线越往上移，z越大，
所以当直线经过M点时，z的值最大，
解方程组

6x+5y=60 5x+3y=40

，得M（

20

7

，

60

7

），
由于最优解应该是整数解，
通过调整得当直线过M'（3，8）和M''（0，12）时，
z达到最大值1800
∴当大房间为3间且小房间为8间，或大房间为0间且小房间为12间时可获最大收益，最大的收益为1800元．

点评：本题给出线性约束条件，求目标函数的最大值．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、线性规划的应用等知识，属于中档题．