Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DD₁的中点．
（1）求证：BD₁∥平面ACE
（2）过直线BD₁是否存在与平面ACE平行的平面，若存在，请作出这个平面与长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的交线（请在答题卡上用黑色碳素笔和直尺作图），并证明这两个平面平行；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设AC∩BD=O，连接OE，证明OE∥BD₁．通过直线与平面平行的判定定理证明BD₁∥平面ACE．
（2）取AA₁，CC₁中点M，N，连接MD₁，MB，BN，ND₁，利用面面平行的判定定理，可得结论．

解答：（1）证明：设AC∩BD=O，连接OE，
因为E是DD₁的中点，O是BD的中点，
所以OE∥BD₁．
又因为OE?平面ACE，BD₁?平面ACE，
所以BD₁∥平面ACE．
（2）存在．
取AA₁，CC₁中点M，N，连接MD₁，MB，BN，ND₁，
因为E是DD₁的中点，M是AA₁的中点，所以AE∥D₁E，
同理D₁N∥CE．
因为D₁E，D₁N?平面D₁MBN，AE，CE?平面ACE，
所以平面ACE∥平面D₁MBN．

点评：本题考查线面平行，考查面面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、面面平行的判定定理是关键．