Question

13、不等式a²+3b²≥λb（a+b）对任意a，b∈R恒成立，则实数λ的最大值为

2

．

Answer 1

分析：将题干中的不等式变形为关于a的一元二次不等式，由△≤0可得关于λ和b的不等式，再由不等式的性质同号得正可得关于λ的一元二次不等式，解此不等式可得λ的范围，进而可得最大值．

解答：解：∵a²-λba+（3-λ）b² ≥0，∴（λb）²-4（3-λ）b²≤0，
∴（λ²+4λ-12）b²≤0，∴λ²+4λ-12≤0，∴（λ+6）（λ-2）≤0
∴-6≤λ≤2，则实数λ的最大值为2．
故答案为2．

点评：本题综合考查函数恒成立问题，用到转化的思想，函数的思想．