Question

已知数列{a_n}满足：a1=1，an+1=

an

an+2

(n∈N*)．若bn+1=(n-λ)(

1

an

+1)，b1=-λ，且数列{b_n}是单调递增数列，则实数λ的取值范为（　　）

A．λ＞2

B．λ＞3

C．λ＜2

D．λ＜3

Answer 1

分析：a1=1，an+1=

an

an+2

(n∈N*)，分别令n=1，2，3，依次求出a₂=

1

3

，a₃=

1

7

，a₄=

1

15

，由此猜想a_n=

1

2n-1

，并用用数学归纳法证明．由a_n=

1

2n-1

．知b_n+1=（n-λ）（

1

an

+1）=（n-λ）•2ⁿ，再由b₁=-λ，数列{b_n}是单调递增数列，能求出λ的取值范围．

解答：解：∵a1=1，an+1=

an

an+2

(n∈N*)，
∴a₂=

1

1+2

=

1

3

，
a₃=

1 3

1 3 +2

=

1

7

，
a₄=

1 7

1 7 +2

=

1

15

，
由此猜想a_n=

1

2n-1

．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a1=

1

21-1

=1，成立；
②假设n=k时，等式成立，即ak=

1

2k-1

，
则当n=k=1时，a_k+1=

ak

ak+2

=

1 2k-1

1 2k-1 +2

=

1

2k+1-1

，成立．
∴a_n=

1

2n-1

．
∴b_n+1=（n-λ）（

1

an

+1）=（n-λ）•2ⁿ，
∴b₂=（1-λ）•2=2-2λ，
∵b₁=-λ，数列{b_n}是单调递增数列，
∴b₁=-λ＜b₂=2-2λ，
解得λ＜2．
故选C．

点评：本题考查数列的通项公式的求法及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法和等价转化思想的合理运用．