Question

（本小题满分14分）
设正整数数列{a_n}满足：a₂＝4，且对于任何
n∈N^*，有．
（1）求a₁，a₃；
（2）求数列{ a_n }的通项a_n．

Answer 1

（1），
（2）对任意，

解：（1）据条件得    ①
当时，由，即有，
解得．因为为正整数，故．
当时，由，
解得，所以．
（2）方法一：由，，，猜想：．
下面用数学归纳法证明．
1当，时，由（1）知均成立；
2假设成立，则，则时
由①得


因为时，，所以．
，所以．
又，所以．
故，即时，成立．
由1，2知，对任意，．
（2）方法二：
由，，，猜想：．
下面用数学归纳法证明．
1当，时，由（1）知均成立；
2假设成立，则，则时
由①得
即　　　　　                     　②
由②左式，得，即，因为两端为整数，
则．于是　　　　③
又由②右式，．
则．
因为两端为正整数，则，
所以．
又因时，为正整数，则　　　　④
据③④，即时，成立．
由1，2知，对任意，．