Question

已知A，B，C均在椭圆上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F₁、F₂，当时，有．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任一条直径，求的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为，所以有
所以△AF₁F₂为直角三角形；
∴
则有
所以，
又，
∴
在△AF₁F₂中有
即，解得a²=2
所求椭圆M方程为

（Ⅱ）由题意可知N（0，2），E，F关于点N对称，
设E（x₀，y₀），则F（-x₀，4-y₀）有，
∴=x²-x₀²+4y₀-4y-y₀²+y²=x²+2y²-（x₀²+（y₀-2）²）-y²+4-4y=-（y+2）²+9
P是椭圆M上的任一点，y∈[-1，1]，
所以当y=-1时，的最大值为8．
分析：（Ⅰ）根据判断出可知△AF₁F₂为直角三角形，进而可知进而根据．求得，进而根据椭圆的定义联立求得根据勾股定理建立等式求得a，则椭圆的方程可得．
（Ⅱ）根据题意通过E坐标求出F坐标，代入椭圆的方程，化简的表达式，利用P是椭圆上的任意一点纵坐标的范围求出表达式的最大值．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的问题，向量的基本计算．考查了学生分析问题和解决问题的能力．