【题目】如图，四边形
与四边形
都是直角梯形，
，
，
，四边形
为菱形，
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）若二面角
的余弦值为
，求
的长．
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】
（1）取
中点
，连
交
于
，连
，可证得
平面
，可得
在菱形中，
，可得
平面
，同时可证得四边形
是平行四边形，则
，可得
平面，可得证明；
（2）以
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法及二面角
的余弦值为
，可得
的长.
证明（1）：取中点，连交于，连．
，
，
，
，
平面
平面
，
，
在菱形中，，
又
，
平面，
平面
分别是
的中点，
，
，
又
，
，
，
，
四边形是平行四边形，则，
平面，
又
平面
，平面
平面
（2）解：由（1）得
平面，
，
以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
，
，
，
设
是平面
的一个法向量，
则
即
取
，得
，
设
是平面
的一个法向量，
则
即
取
，得
，
∵二面角的余弦值为．
，解得
．
口算题卡北京妇女儿童出版社系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图1，在边长为
的正方形中
，
、
分别为
、
的中点，沿
将矩形
折起使得
，如图2所示，点
在上，
，
、
分别为
、
中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共12道题），从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成
，
，
，
，
，
六组，得到如下频率分布直方图.
（1）若答对一题得10分，未答对不得分，估计这40人的成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若从答对题数在
内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在内的概率.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为120的样本，测量树苗高度（单位：
），经统计，其高度均在区间
内，将其按
分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为
及以上的树苗为优质树苗．
|
| 合计 | |
优质树苗 | 20 | ||
非优质树苗 | 60 | ||
合计 |
（1）求图中
的值，并估计这批树苗高度的中位数和平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于
，
两个试验区，部分数据如上列联表：将列联表补充完整，并判断是否有
的把握认为优质树苗与
，
两个试验区有关系，并说明理由．
参考数据：
| 0.15 | 0．10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式：
，其中
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某客户考察了一款热销的净水器，使用寿命为十年，过滤由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，滤芯需要不定期更换，其中滤芯每个200元.如图是根据100台该款净水器在十年使用期内更换的滤芯的件数制成的柱状图.（以100台净水器更换滤芯的频率代替1台净水器更换滤芯发生的概率）
（1）估计一台净水器在使用期内更换滤芯的件数的众数和中位数.
（2）估计一台净水器在使用期内更换滤芯的件数大于10的概率.
（3）已知上述100台净水器在购机的同时购买滤芯享受5折优惠（使用过程中如需再购买无优惠），假设每台净水器在购机的同时购买滤芯10个，这100台净水器在使用期内，更换滤芯的件数记为a，所需费用记为y，补全下表，估计这100台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数.
100台该款净水器在试用期内更换滤芯的件数a | 9 | 10 | 11 | 12 |
频数 | ||||
费用y |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，椭圆
：
的离心率为
，左、右顶点分别为
、
，线段
的长为4.点
在椭圆上且位于第一象限，过点，分别作
，
，直线
，
交于点
.
（1）若点的横坐标为-1，求点的坐标；
（2）直线与椭圆的另一交点为
，且
，求
的取值范围．
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