Question

已知定义域为R的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=lnx．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数h（x）=f（x）+

a

x

在[1，e]上的最小值为3，求a的值；
（3）若存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＞x₀²+

a

x0

，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数奇偶性的定义，得x＜0时f（x）=-f（-x）=-ln（-x），结合f（0）=0即可求出函数f（x）的解析式；
（2）求导数得h′（x）=

x-a

x2

，可得h′（x）=0的根为x=a．因此分a≤1、1＜a＜e和a≥e三种情况讨论，分别得到函数在[1，e]上的单调性，再由最小值3建立关于a的等式，解之即可得到实数a的值；
（3）由题意得f（x）＞x²+

a

x

在[1，+∞）上有解，变形整理得a＜xlnx-x³在[1，+∞）上有解．再利用导数工具加以研究，可得当x∈[1，+∞）时g′（x）＜0恒成立，得g（x）在[1，+∞）上单调递减，所以g（x）_max=g（1）=-1，由此即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0--------------------（1分）
当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-ln（-x）
综上所述，函数f（x）的解析式是f（x）=

lnx     (x＞0) 0        (x=0) -ln(-x)        (x＜0)

--------------（3分）
（2）由题意得h（x）=lnx+

a

x

，∴h′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

由h′（x）=0得x=a
①当a≤1时，f（x）在[1，e]上单调递增
∴h（x）_min=h（1）=a
∴a=3，但不符合a≤1，舍去---------------------（6分）
②当1＜a＜e时，f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增
∴h（x）_min=h（a）=a
∴a=3，但不符合1＜a＜e，舍去---------------------（8分）
③当a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减
∴h（x）_min=h（e）=1+

a

e

，可得1+

a

e

=3，解之得a=2e，符合题意
综上所述：当a=2e时，h（x）=f（x）+

a

x

在[1，e]上的最小值为3-----------（10分）
（3）由题意：f（x）＞x²+

a

x

在[1，+∞）上有解
即a＜xlnx-x³在[1，+∞）上有解--------------------（12分）
设g（x）=xlnx-x³，其中x∈[1，+∞），可得g′（x）=lnx+1-3x²
设φ（x）=lnx+1-3x² （x∈[1，+∞）），则φ′（x）=

1

x

-6x
当x∈[1，+∞）时φ′（x）＜0恒成立，可得φ（x）在[1，+∞）上单调递减
∴φ（x）≤φ（1）=-2，得φ（x）在[1，+∞）上恒为负数---------------------（14分）
∴当x∈[1，+∞）时g′（x）＜0恒成立，得g（x）在[1，+∞）上单调递减
因此，g（x）_max=g（1）=-1
由此可得，实数a的取值范围为（-∞，-1）．---------------------（16分）

点评：本题给出含有对数的函数，研究函数的奇偶性并求函数在闭区间上的最值．着重考查了利用导数工具研究函数的单调性、函数在闭区间上的最值和不等式恒成立问题等知识，属于中档题．