Question

（不等式选讲选做题）已知a，b，c∈R⁺，且a+b+c=1，则

3a+1

+

3b+1

+

3c+1

的最大值为

3

2

．

Answer 1

分析：根据柯西不等式（x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃）²≤（x₁²+x₂²+x₃²）（y₁²+y₂²+y₃²），将原式进行配凑并结合已知条件a+b+c=1加以计算，即可得到

3a+1

+

3b+1

+

3c+1

的最大值．

解答：解：根据柯西不等式，可得
（

3a+1

+

3b+1

+

3c+1

）²
=（1•

3a+1

+1•

3b+1

+1•

3c+1

）²
≤（1²+1²+1²）[（

3a+1

）²+（

3b+1

）²+（

3c+1

）²]=3[3（a+b+c）+3]=18
当且仅当

3a+1

=

3b+1

=

3c+1

），
即a=b=c=

1

3

时，（

3a+1

+

3b+1

+

3c+1

）²的最大值为18
因此

3a+1

+

3b+1

+

3c+1

的最大值为 3

2

．
故答案为：3

2

点评：本题给出三个正数满足a+b+c=1，求

3a+1

+

3b+1

+

3c+1

的最大值．考查了利用柯西不等式求最值的方法，属于中档题．