练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知向量
    a
    =(
    		3
    ，-1)    ，
    b
    =(
    1
    2
    ，
    		3
    2
    )    ．
    （1）求证：
    a
    ⊥
    b
    ；
    （2）是否存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使
    x
    =
    a
    +(t+2s)
    b
    与
    y
    =-k
    a
    +(
    1
    t
    +
    1
    s
    )
    b
    垂直？如果存在，求出k的最小值；如果不存在，请说明理由．
    分析：（1）由向量
    a
    =(
    		3
    ，-1)    ，
    b
    =(
    1
    2
    ，
    		3
    2
    )    ，知
    a
    •
    b
    = 
    		3
    ×
    1
    2
    +(-1)×
    		3
    2
    =0，由此能证明
    a
    ⊥
    b
    ．
    （2）存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使
    x
    =
    a
    +(t+2s)
    b
    与
    y
    =-k
    a
    +(
    1
    t
    +
    1
    s
    )
    b
    垂直．由
    x
    =
    a
    +(t+2s)
    b
    ，
    y
    =-k
    a
    +(
    1
    t
    +
    1
    s
    )
    b
    ，知
    x
    •
    y
    =[
    a
    +(t+2s)
    b
    ]•[-k
    a
    +(
    1
    t
    +
    1
    s
    )
    b
    ]    =-4k+1+
    2s
    t
    +
    t
    s
    +2=0，由此能求出k的最小值．
    解答：解：（1）∵向量
    a
    =(
    		3
    ，-1)    ，
    b
    =(
    1
    2
    ，
    		3
    2
    )    ，
    ∴
    a
    •
    b
    = 
    		3
    ×
    1
    2
    +(-1)×
    		3
    2
    =0，
    ∴
    a
    ⊥
    b
    ．
    （2）存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使
    x
    =
    a
    +(t+2s)
    b
    与
    y
    =-k
    a
    +(
    1
    t
    +
    1
    s
    )
    b
    垂直．
    ∵向量
    a
    =(
    		3
    ，-1)    ，
    b
    =(
    1
    2
    ，
    		3
    2
    )    ，
    ∴
    a
    •
    b
    =0    ，
    ∵
    x
    =
    a
    +(t+2s)
    b
    ，
    y
    =-k
    a
    +(
    1
    t
    +
    1
    s
    )
    b
    ，
    ∴
    x
    •
    y
    =[
    a
    +(t+2s)
    b
    ]•[-k
    a
    +(
    1
    t
    +
    1
    s
    )
    b
    ]
    =-k
    a
    2    -k（t+2s）
    a
    •
    b
    +（
    1
    t
    +
    1
    s
    ）
    a
    •
    b
    +（t+2s）（
    1
    t
    +
    1
    s
    ）•
    b
     2
    =-4k+1+
    2s
    t
    +
    t
    s
    +2=0，
    ∴k=
    3+
    2s
    t
    +
    t
    s
    4

    ≥
    3+2
    2s
    t
    • 
    t
    s
    4

    =
    3+2
    		2
    4
    ．
    ∴k的最小值是
    3+2
    		2
    4
    ．
    点评：本题考查平面向量垂直的证明和两向量垂直时最小的k的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =(3，1)    ，
    b
    =(1，3)    ，
    c
    =(k，2)    ，若(
    a
    -
    c
    )⊥
    b
    则k=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =(
    		3
    ，1)，
    b
    =(-1，0)，则向量
    a
    与
    b
    的夹角为（　　）
    A、
    π
    6
    B、
    2π
    3
    C、
    π
    2
    D、
    5π
    6

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =(3，2)    ，
    b
    =(2，n)    ，若
    a
    与
    b
    垂直，则n=（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =(-3，4)    ，
    b
    =(1，-1)    ，则向量
    a
    在
    b
    方向上的投影为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知向量
    a
    =(-3，4)，
    b
    =(5，-2)    ，则|
    a
    -
    b
    |    =
    10
    10
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案