Question

17．已知直线y=kx+4与椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有两个不同的交点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 先联立直线与椭圆方程，化简得到一个关于x的一元二次方程，因为直线y=kx+4与椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有两个不同的交点，所以这个一元二次方程有两个不同的解，判别式大于0，由此即可得到m的范围．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+4\\ \frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1\end{array}\right.$可得，（4+3k²）x²+24kx+36=0
∵直线y=kx+4与椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有两个不同的交点，
∴△＞0，即（24k）²-4×36（4+3k²）＞0
∴k²＞4，解得k＜-2或k＞2，
即k范围为{k|k＜-2或k＞2}．

点评 本题主要考查直线与椭圆相交交点的求法，以及根据一元二次方程根的判断来判断直线与椭圆交点个数．