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    设数列{an}满足:an+1 =an2-nan+1,n=1,2,3,…,

    (1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式;

    (2)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有

    (ⅰ)an≥n+2;

    (ⅱ) +…+.

    (1)解析:由a1=2,a2=a12-a1+1=3,?

    ∵a2=3,a3=a22-2a2+1=4,?

    由a3=4,∴a4=a32-3a3+1=5.?

    由此猜想an的一个通项公式:an=n+1(x≥1).?

    (2)证明:(ⅰ)用数学归纳法证明:?

    ①当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立.?

    ②假设当n=k时不等式成立,即?

    ak≥k+2,那么?

    ak+1 =ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3,?

    即当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2.?

    根据①和②,对于所有n≥1,an≥n+2.??

    (ⅱ)由an+1=an(an-n)+1及(ⅰ),对k≥2,ak=ak-1(ak-1-k+1)+1?

    ≥ak-1(k-1+2-k+1)+1?

    =2ak-1+1,……?

    ∴ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1(a1+1)-1.?

    于是.?

    ?

    .

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
    （1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
    （2）设0＜c＜
    1
    3
    ，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
    （3）设0＜c＜
    1
    3
    ，证明：
    a
    2
    1
    +
    a
    2
    2
    +…
    a
    2
    n
    ＞n+1-
    2
    1-3c
    ，n∈N*    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f(x)=
    1
    4x+m
    (m＞0)    ，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
    1
    2
    ．
    （1）求m的值；
    （2）设数列an满足an=f(
    0
    n
    )+f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n
    n
    )    ，求an的通项公式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式
    （Ⅱ）设a=
    1
    2
    ，c=
    1
    2
    ，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
    （Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}满足：a1=
    5
    6
    ，且an=
    1
    3
    an-1+
    1
    3
    （n∈N*，n≥2）
    （1）求证：数列{an-
    1
    2
    }为等比数列，并求数列{an}的通项an；
    （2）求{an}的前n项和Sn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设n∈N*，不等式组
    x＞0
    y＞0
    y≤-nx+2n
    所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
    （1）求（xn，yn）；
    （2）设数列{an}满足a1=x1，an=
    y
    2
    n
    (
    1
    y
    2
    1
    +
    1
    y
    2
    2
    +…+
    1
    y
    2
    n-1
    )，(n≥2)    ，求证：n≥2时，
    an+1
    (n+1
    )
    2
     
    -
    an
    n
    2
     
    =
    1
    n
    2
     
    ；
    （3）在（2）的条件下，比较(1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )…(1+
    1
    an
    )    与4的大小．

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