Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=

1-bn

2

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，设数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）利用根与系数之间的关系先求出a₂，a₅的值，然后联立方程求公差和首项，求出数列{a_n}的通项公式，利用b_n与S_n的关系求{b_n}的通项公式．
（2）先求出c_n=a_n•b_n的通项公式，利用错位相减法求出数列{c_n}的前n项和为T_n，然后证明不等式．

解答：解：（1）因为a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根且等差数列{a_n}的公差大于0，
所以解得a₂=3，a₅=9，所以公差d=

a5-a2

5-2

=2，所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-1．
当n=1时，b1=S1=

1-b1

2

，解得b1=

1

3

，
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=

1

2

(bn-1-bn)，
所以

bn

bn-1

=

1

3

(n≥2)，所以数列{b_n}是以b₁为首项，公比q=

1

3

的等比数列，
所以bn=b1qn-1=(

1

3

)n=

1

3n

．
（2）由（1）知，cn=anbn=

2n-1

3n

，则数列{c_n}的前n项和为T_n，
则Tn=

1

3

+

3

32

+…+

2n-1

3n

  ①

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+…+

2n-1

3n+1

 ②
①-②得

2

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+

2 32 [1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

，
整理得Tn=1-

n+1

3n+1

，因为n∈N^•，所以

n+1

3n+1

＞0，
故Tn=1-

n+1

3n+1

＜1．

点评：本题主要考查等比数列和等差数列的通项公式，以及利用错位相减法求数列前n项和问题，要求熟练掌握错位相减法．