Question

1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a²-（b-c）²=（2-$\sqrt{3}$）bc，sinAsinB=cos²$\frac{C}{2}$，
（1）求角B的大小；
（2）若等差数列{a_n}的公差不为零，且a₁cos2B=1，且a₂、a₄、a₈成等比数列，求{$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a²-（b-c）²=（2-$\sqrt{3}$）bc，化简后利用余弦定理可求cosA，又0＜A＜π，解得A，由sinAsinB=cos²$\frac{C}{2}$，可得sinB=1+cosC，又C为钝角，解得cos（C+$\frac{π}{3}$）=-1，从而可求C，进而求得B的值．
  （2）设{a_n}的公差为d，由已知得a₁=2，且（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+7d）．解得d=2．a_n=2n．由$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．即可用裂项法求和．

解答 解：（1）由a²-（b-c）²=（2-$\sqrt{3}$）bc，可得：a${\;}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}=-\sqrt{3}bc$，
所以cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{6}$，
由sinAsinB=cos²$\frac{C}{2}$，可得$\frac{1}{2}$sinB=$\frac{1+cosC}{2}$，sinB=1+cosC，
∴cosC＜0，则C为钝角．B+C=$\frac{5π}{6}$，则sin（$\frac{5π}{6}$-C）=1+cosC，
∴cos（C+$\frac{π}{3}$）=-1，
解得C=$\frac{2π}{3}$，∴B=$\frac{π}{6}$．…（6分）
（2）设{a_n}的公差为d，由已知得a₁=$\frac{1}{cosA}=2$，且a²₄=a₂a₈．
∴（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+7d）．
又d≠0，∴d=2．∴a_n=2n．…（9分）
∴$\frac{4}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴S_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了等差数列，等比数列的性质和裂项法求和的方法，属于中档题．